按照现行中小学教材,自然数是包括零的
其实在历史上,自然数包不包含0,一直有两种不同的观点,
1.由意大利数学家G 皮亚诺提出来的序数理论,他总结了自然数的性质,并用公理法给出了自然数的定义:自然数集N是指满足以下条件的集合
- N中有一个元素记作1
- N中每一个元素都能在N中找到一个元素作为它的后继者;
- 1是0的后继者
- 0不是任何元素的后继者
- 不同元素有不同的后继者
N的任一子集M ,若1属于M,并且只要X在 M中就能推出X的后继者也在M中,那么M=N我们看到他的理论把0排除在自然数之外,其实我们从人类发展的历史的角度看,0不在自然数范围内还是比较合理的,人类早期为了计数,从一开始,一个一个的加则有二三四五六等;新中国成立以来,国内用的教材都使用的自然数中不包含0;可能80后那一代印像比较深刻;
2基数理论都把0归为自然数的范畴,因为从集合论的角度,把0作为空集的基数,这样所有有限集合的基数都可以用自然数来刻画了
目前在上际上,大多数国家都把0纳入自然数集内,为了国际交流的方便,中国也在1993年制定的新标准将0纳入自然数集合中.
特别的,由于0的引入在小学"整除"部分的教学中,有不太严谨的部分,一般采取模糊处理,不引导学生关注这些问题;
后面是国内数学教材对对0的一些规定,一般体现的自然数定义、整除、倍数与因数、偶数等方。
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