什么是优化问题，它的背后的原理是什么？

通过本文，您将了解一些优化问题的基础知识，以及优化是如何在幕后真正发挥作用的。我会通过两个例子来说明如何构建一个简单的优化问题，并且展示优化问题中要素的更改如何影响我们的解决方案的。

本文将涵盖如下主题：

什么是优化？

优化为什么如此重要？

优化用在哪些地方？

约束性优化与无约束优化有什么区别？

优化模型的三个核心要素是什么？

如何构建一个简单的优化问题（两个示例）。

本文不会涉及复杂的数学推导、算法、优化软件，也不会讨论其他不同类型的优化问题。

什么是优化？

简而言之，优化就是在所有可行的解决方案中选择最优方案。

但是，什么是最优呢？所谓最优，取决于你手头上的问题是什么。对于你正在解决的问题来说，最优意味着最大的利润吗，还是最低的成本？是否意味着节省的时间最多，还是使用的资源最少？所以说，“最优”的定义取决于你要解决的问题。

什么时候需要优化？当某个问题有一个以上解决方案的时候，就可以利用优化了。

优化为什么如此重要？

那么我们为什么要关心优化？它为什么如此重要？

要了解它的重要性，让我们先来看一下分析的四个不同阶段。下图是 Gartner 分析优势模型，这是用来衡量一个组织的数据成熟度的有用工具。

x 轴表示难度或复杂程度，y 轴表示价值或影响。四种不同阶段的分析从事后分析到先见分析，其中先见分析最为复杂。

第一阶分析是描述性分析（descriptive analytics）。它告诉你发生了什么。例如，浏览网站的平均时间或同比销售额增长。

第二阶分析是诊断性分析（diagnostic analytics）。为什么会这样？其特点是深入研究数据以确保在数据中能够发现潜在的原因。

接下来，是预测性分析（predictive analytics）。将要发生什么？为了做出预测，我们可能会使用机器学习模型。也许你可能听说过聚类模型或回归模型。你猜怎么着，这些机器学习模型也是依靠优化来找到答案的。

优化也是规范性分析（prescriptive analytics）的范畴。我们会做出哪些决定来让事情发生？例如，我们如何分配零售货架以实现利润最大化？将多少产品运送到美国各地的仓库在最大限度地降低总体成本的情况下仍能满足需求？

这些决定将具有巨大的商业价值，不是吗？这将帮助我们提高效率，或者提供竞争优势。优化非常强大，因为你能够在战略、运营和战术层面为组织提供指导。

从图表中可以看出，优化是最复杂的分析阶段，但同时也提供了最大的商业价值。我们将在接下来的几个示例中看到这一点。

优化用在哪些地方？

你可能没特别留意，但优化其实无处不在。当你使用 GPS 时，无论是谷歌地图还是苹果地图，它都会帮你计算到目的地的最短行驶距离。这就是优化。

优化不仅在日常问题中发挥作用，而且已被应用于各个行业的各种类型的问题当中。以下就是两个著名的优化案例。

案例 1: UPS

首先讨论运输中的优化问题。一个著名案例来自 UPS（United Parcel Service, Inc. 美国联合包裹运送服务公司）。UPS 希望为其司机找到最有效的包裹递送路线，以节省时间并降低油耗。为了节省时间，该公司决定司机应尽可能地避免左转。在美国，你需要等待绿灯以及前方直行无车时才能左转。因此，取消左转意味着更少的时间浪费和更少的燃料消耗。UPS 创建了一个名为 ORION 的专有优化软件，以帮助司机最大限度地减少运输路线的左转。

在上图中，左侧是驾驶员原本的路线方案，右侧是 ORION 给出的解决方案。正如您在地图上看到的，ORION 的解决方案比司机的方案要高效得多。使用 ORION 软件可以节省 30 英里的路途。

谈到商业价值，UPS称：“自 ORION 最初部署以来，每年为 UPS 节省了大约 1 亿英里和 1000 万加仑的燃料。”

这当然可以使他们比竞争对手更具竞争优势。正如在此处看到的，优化为 UPS 带来了重大的商业价值。

优化问题1

现在我们已经掌握了所有术语，让我们看一个超级简单的玩具优化问题。这个问题非常简单，以帮助你轻松进入解决优化问题的状态。这里只是学习使用我们学习过的术语来构建优化问题，并理解优化是如何工作的，所以不要太担心解决方案。

这是我们手头的问题：

非常毛绒玩具公司（It's So Fluffy LLC） 想要最大化利润。

他们有两种产品：可爱的独角兽抱枕和肥猫玩偶。

非常毛绒玩具公司有足够的雪尼尔材料来生产最多 2 个可爱的独角兽抱枕。

非常毛绒玩具公司有足够的面料生产最多 3 个肥猫玩偶。

独角兽抱枕有 15 美元的利润，肥猫玩偶有 10 美元的利润。

花点时间来想一想这个优化问题的三个核心要素是什么。如果忘记了核心要素，这里有一个提醒。

1. 目标函数
2. 决策变量
3. 约束

目标函数是什么？我们希望为公司带来最大的利润。利润是独角兽抱枕的价格乘以卖出的独角兽抱枕的个数加上肥猫玩偶的价格乘以卖出的肥猫玩偶的个数。

什么是决策变量？公司可以决定哪些事情？要制作的独角兽抱枕的数量和要制作的肥猫玩偶的数量。

有哪些约束条件？由于材料限制，最多只能生产2个独角兽抱枕和3个肥猫玩偶。

另一件值得注意的事情是，不可能生产少于 0 个独角兽抱枕或 0 个肥猫玩偶。尽管这对我们来说是直观和合乎逻辑的，但将这些约束构建到问题中是一种很好的做法。你希望避免计算机可能输出不合逻辑的解决方案的情况，例如在这种情况下的负数。

现在让我们将刚刚提出的组件转换为图形形式，以便将问题可视化。

下图中的 X 和 Y 轴是我们的决策变量。现在让我们画出我们的约束。在向下滚动之前，请花点时间考虑一下如何在此图上绘制约束。

它应该如下所示。图表上的红线代表我们针对此优化问题应用的约束。分别有一条垂直线在x轴0 和 2 处，分别有一条水平线在y轴 0 和 3 处。其中绿色部分我们称之为可行解决方案空间，粉色部分称为不可行解空间。