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13的乘法的规律(有趣的乘法规律)

带您了解不一样的乘法2018年8月2日星期四现在的小朋友和乘法初次见面是这样的情景:人教版二年级数学上册47页有许多熟悉的生活实例和一句关键的话语:“这种加数相同的加法,还可以用乘法表示。”从那时起,那个长得和“X”、老师判的错号极像的乘号“

  带您了解不一样的乘法

  2018年8月2日星期四

  现在的小朋友和乘法初次见面是这样的情景:

13的乘法的规律(有趣的乘法规律) - 第1张

人教版二年级数学上册47页

  有许多熟悉的生活实例和一句关键的话语:“这种加数相同的加法,还可以用乘法表示。”从那时起,那个长得和“X”、老师判的错号极像的乘号“×”,便开始了和我们的“长相厮守”。需要弄清楚的是,那位乘号“太老爷”已经快400岁了,和它在一起,总归要“毕恭毕敬”的。

13的乘法的规律(有趣的乘法规律) - 第2张

人教版二年级数学上册51页

  把加号斜过来记作乘号,这种符号的形式变迁形象地说明着乘法的渊源和来头。乘法就是一种特殊的加法,一种长得很规矩的加法,比如:

  3+3+3+3+3+3+3+3+3=3×9或9×3

  如果您觉得它们是在排队——排长队的话,它们的要求很严:比如必须是二年级的男生,没有相同的属性的话,是不会要的。

  您一定会认同:加法比乘法更古老,加法的“辈分”比乘法更大。“我们学过的加、减、乘、除四种运算统称四则运算”,您可曾想过给它们排排“族谱”,让我们更清楚地知晓它们“长幼有序”?大约距离我们与乘法的初次见面两三年后,四年级数学下册对“四则运算”进行了一次集中深入“摸排”:

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人教版四年级数学下册2、3、5页

  您如果仔细琢磨字里行间的意思,也会画出它们的传承简谱:

13的乘法的规律(有趣的乘法规律) - 第7张

  用我们喜闻乐见的话说就是——这四位“哥们”的排行是:加法老大、减法老二、乘法老三、除法老四。这个简易的“族谱”在数学发展的逻辑上是自洽的。但是如果从历史“考证”的角度出发,则又值得商榷。有人就“固执”、“另辟蹊径”地认为:除法的产生早于乘法,因为古人在广阔的生活、生产实践中较早地、大量地产生了“平均分物”的需求。这种观点似乎天然地可以将“除法的产生”与“分数的产生”联系起来,我甚至怀疑这是在用“数的概念”将一种“运算”偷梁换柱!但我也是纸上谈兵,无力证伪!确定的是:除号(÷)比乘号(×)小28岁。

13的乘法的规律(有趣的乘法规律) - 第8张

人教版二年级数学下册17页

  我们对乘法的学习,从逻辑上应当经历以下3个阶段:

  ①一位数乘一位数;

  ②多位数乘一位数;

  ③多位数乘多位数。

  现实是,自打二年级数学上册“初见”乘法,直至四年级数学下册总结“自然数的乘法”,前后6本教材中,我们经历了:表内乘法、多位数乘一位数、两位数乘两位数、三位数乘两位数4个阶段,运算定律、四则混合运算的学习还排除在外。这是为什么呢?为何不是恰如其分的3个阶段,抑或5个、6个……更多阶段,比如再来一些“三位数乘三位数”、“四位数乘三位数”……这样简单的无脑推导和延伸?

  真知灼见仿佛酷爱隐藏在平淡无奇的地方。“两位数乘两位数”的学习,从掌握乘法的算法、理解乘法的算理的角度而言,已然达到了“最高境界”。学习诚如修炼!这让我情不自禁地想起了“张无忌将九阳神功修炼到第九重”时的激动情形,那位苦命的孩子终于拥有了翻盘人生的能力,绝处逢生!每个人心中都有一个武侠梦——那种压缩时空,分外戏剧化的情节,让我们充满了强烈的幻想和无比的向往。数学学习的道路并非坦途。学习的动力和乐趣,也存在于我们是否乐于主动探究更多的秘密,是否善于挖掘并享受每一滴成功的喜悦。学习乘法的修行,在三年级便已臻完美。四年级数学上册的“三位数乘两位数”只是由于结果突破了万位,为了配合“大数的认识”、“除数是两位数的除法”的学习,而后续展开的复习巩固。乘法的算法与算理已然不是重点,更多的是着力在“乘法的规律”和“常见的乘除法数量关系”上。

13的乘法的规律(有趣的乘法规律) - 第9张

人教版四年级数学上册23页

  从四年级数学上册的“计算工具的认识”章节内容来看,对于所谓“三位数乘三位数”、“四位数乘三位数”……的问题,教材似乎做出了无言的回答:数据大就用工具算呗,别费劲了!有时,我们还真是不得不佩服编者的智慧和精心设计。

  对于笔算乘法,真正弄明白例如:13×23这样的乘法,就已经接近完美了!当然,在“两位数乘两位数”的集合中,13×23并不算困难的。两位数从10到99共有90个,两位数乘两位数的集合中共有90×90=8100个元素(每个元素就是一道两位数乘两位数的乘法)。什么是“难”的?我们给出两个标准:一是计算过程中要有进位,甚至是连续进位;一是积是四位数。显然,13×23=299都不满足这两条。更一般地:一个m位自然数乘以一个n位自然数,它们的积不是m+n-1位,就是m+n位。如果其中一个自然数可以为0,则这个结论不再成立。这或许也可以从另一个角度说明:最小的一位数是1而不是0——这个结论是低年级数学教师的一个共识。联系这个关于“乘积位数”的一般结论,它是如此的合理,每一滴的做法,每一毫的细节,都在驱使我们的数学理论逼近完美!

  (重要程度★★★★)

  您一定想到了用“乘法竖式”计算13×23,但我们是如何走到这一步的?我们曾经都经历了什么?

  首先是一位数乘一位数,也就是表内乘法。这个集合共有9×9=81个元素,可以组成“大九九乘法表”。但由于自然数乘法满足交换律:a×b=b×a,举例就是:3×4=4×3,所以乘法表被简化成了我们熟悉的“小九九乘法表”(形容一个人会算计,我们常用“小九九”,这或许就是来源),共有45句。它们奠定了乘法大厦的坚实基础。这一定也会成为我们发现“乘法交换律”的实际作用的一个重要例证,因为,想必您和我一样,也曾认为“3×4=4×3”是一条极为“白痴”的数学定律。然而,当一个运算系统中,运算对象或定义其上的运算发生改变时,乘法交换律并不见得一定能被继承,比如:矩阵的乘法就不满足交换律,但可以满足结合律……我们认为简单,往往是由于我们简单;我们认为“白痴”,往往是由于我们白痴!这大抵如同:“我看青山多妩媚,料青山看我亦如是”。

  有人曾经抛出一段论调:中国的孩子笔算能力强,得益于用汉语表达的乘法口诀是如此地简洁整齐、朗朗上口。我不懂得外语是如何表达乘法口诀的,或者外国人到底有没有乘法口诀?在我的学习经历中,所谓“笔算能力强”从未让我产生过自豪。我们这些徘徊在义务教育数学教材中的凡人,甚至再将高中、大学数学教材中的一部分扯进来,映入眼帘的满是国外的数学大神,尤其是近代欧洲(17、18世纪左右),如:高斯、牛顿、欧拉、黎曼、笛卡尔、莱布尼茨、费马、阿贝尔、伽罗瓦、拉格朗日、泊松……简直是群星璀璨,亮瞎双眼!我们大多数人穷尽半生努力,甚至都不能触碰他们的思维高度!而我们的“九九乘法歌诀”却早在2000多年前的春秋战国时期就已经流行开了。坚信这种“笔算优越”的论调,并不能增强我们的民族自豪感。让我们更多的中国数学大家的名字进入教材,让我们更多的中国学子坚持到发现中国数学家的成就的阶段,才是值得自豪的事情。我曾在粗浅的数学阅读中,得出一个不太准确但让我印象深刻的结论:我们100%达到高中数学的结业要求后,我们12年的数学努力也只能使我们达到大约400年前欧洲数学的水平。我这个粗妄的结论只是基于:1671年英国的牛顿写了《流数术和无穷级数》,1684年德国的莱布尼茨发表了《一种求极大极小和切线的新方法,它也适用于分式和无理量,以及这种新方法的奇妙类型的计算》,标志着“微积分”的系统创立。从高中仅对“微积分”作入门铺垫,我得出此结论。纵使现当代中国数学家杰出蓬勃,我们大多数人要接触他们的成就,也很遥远。在兴趣的引领下,坚定地快乐前行,或许是数学学习永恒的最佳状态。

  (重要程度★★★★)

  9的乘法口诀就是如此地充满趣味:

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  积的个位数字倒着排:9→0,十位数字正着排:0→9。还可以用双手来完成:

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人教版二年级数学上册83页

  如果您对此毫无感觉,我只想引用一句话:世界上并不缺乏美,缺乏的只是发现美的眼睛。眼能视物,发现靠心。再来看一看9的乘法的推广:

13的乘法的规律(有趣的乘法规律) - 第12张

  您是否有一丝的感叹这种极其规整的形式美?

  有了强大、便捷的“汉语乘法口诀”,我们便可以勇敢地进行“乘法之旅”了。为此,我们要做一些必要的“旅行准备”。

  牢记化归的思想。乘法之旅中我们会遇到多位数乘一位数,多位数乘多位数,甚至是之后的小数乘法。应对它们,有一个共同的思路,就是转化为表内乘法。这种化未知为已知,化难为易,化繁为简的思想,叫做“化归”。有了这种思想,我们可以抓住事物的本质,以不变应万变,有如胁生两翼,轻松及远。

  掌握搭配的技巧。如同3件上装、2件下装,一共有3×2=6种搭配,一个m位数乘以一个n位数,可以搭配出mn个表内乘法。

13的乘法的规律(有趣的乘法规律) - 第13张

人教版三年级数学下册102页

  将上装换成一个因数123,将下装换成另一个因数45,则有以下搭配:

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  理解整十、整百……数的乘法。20×30可以理解为:2个十×30,积的单位是“十”;2×30可以理解为:2×3个十,得6个十,也就是60;故而20×30的结果是:60个十,也就是600。这些啰嗦地分析并不是目的,我们要得出便捷地“划0、补0”的计算方法:

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  这说明:两位的整十数、三位的整百数、四位的整千数……的乘法,在本质上仍然是“表内乘法”,只是“计数单位”有所不同,从技巧上,我们需要处理的只是0的问题。

  回到前文谈到的13×23,我们可以将其分解为:

  ①个位乘个位:3×3=9

  ②个位乘十位:3×10=30

  ③十位乘个位:20×3=60

  ④十位乘十位:20×10=200

  然后合起来:9+30+60+200=299

  所谓乘法的算理,就是6个字:分开乘,合起来。

  (重要程度★★★★★)

  算法是算理的具体实现。在乘法的具体表现方式上,可谓五花八门,精彩纷呈。

  (一)最经济实用的乘法

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  这就是现在被我们广为使用的乘法竖式。它以极简的方式勾勒出了“分开乘,合起来”的乘法算理,简便、高效。特点是:自下而上,从低位向高位乘,符合向“高一位”进位的顺序。您可以尝试一下反方向“从高位到低位”展开乘法,您会发现:在纸上反复涂改已经写出的数字的确很不方便。但是在珠算乘法中,有种叫做“空盘前乘法”的方法,却是将乘法从高位到低位依次展开的,因为活动的算珠可以自由改动。

  我曾见过自上而下展开的竖式乘法:

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  它的特点是:乘法的出发点不再是第二个因数的个位,而是第一个因数的个位。虽然结果正确,但不符合约定俗成。

  更奇葩一点是:

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  换个例子或许更明显:

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  这种方法将“出发点”因数1234按从高位到低位的顺序处理,使得中间的“梯级”朝反方向倾斜了,对吧?但这仍旧不同于珠算中的“空盘前乘法”:

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  空盘前乘法中“从高到低”的顺序是完全针对两个因数的,而不单是针对“出发点”因数的!这一点,您或许得好好想想,乘法的不同顺序组合起来还是很多的,上面只是讨论了几种典型情况,不排除还有其他更多大放异彩的方法。

  (二)最好玩的乘法

  您见过13×23可以这样做吗?

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  用画直线代替数字,用横线表示一个因数,用纵线表示另一个因数,数字间使用大间隔,同一数字的直线使用小间隔,用交点数表示每一步的乘积,自左上、左下、右下逆时针旋转半圆取得结果……还真是会玩!您看明白了吗?这让我想起了我国古代的数字:

13的乘法的规律(有趣的乘法规律) - 第22张

人教版一年级数学上册60页

  我们的古人用算筹拼摆记数,进行乘法,下图是49×36的计算示意:

13的乘法的规律(有趣的乘法规律) - 第23张

  算法大致同“空盘前乘法”。上下摆因数,中间摆结果。遵循两个因数从高位到低位的计算顺序。古人随身携有算袋(或叫算子筒),用来装算筹。5以后的数字不再无脑叠加摆放,而采用“变式”,这种做法就如同算盘中的上珠和下珠,想来也是为了节约算筹,不使算袋过重啊!此例中,数字1~5混用“横式”和“纵式”,我感觉也是要醉了!

  (三)最漂亮的乘法

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人教版四年级数学上册48页

  这种“格子乘法”,传入中国后,在明朝数学家程大位的《算法统综》中被称为“铺地锦”。它的展开形状就像锦锻上的花纹一样漂亮。让我们也尝试着做一做13×23:

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  您会发现:它的一个因数从左到右写在上面,另一个因数从上到下写在右面;它的计算过程为“横纵相乘”,类似于直角坐标系中的取点方法;它完全无视“从低到高”、“自下而上”这些乘法的计算顺序,非常任性!只是画格子略微让人有点抓狂!漂亮倒是名实相符!

  (四)最具科技感的乘法

  四大文明古国之一的古埃及的人民曾经使用过一套完全另类的乘法,我冒失地将其命名为“翻倍乘法”。让我们仍以13×23为例展开:

  1:23  ←

  2:46

  4:92  ←

  8:184 ←

  16:368

  13=8+4+1

  13×23=184+92+23=299

  (请注意箭头指向的数字,另一个因数23依次翻倍)

  初次见到这种乘法的我满腹狐疑。仔细推敲一番后,才发现核心的算理在于——古埃及人老早地发现了自然数的一个特点:任何一个自然数都可以表示成2的幂次方的和的形式,比如:

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  您不要被这貌似复杂的“通式”唬住,这不是什么高妙的数学公式,也不需要复杂的证明。这只是现代人常见常用的“进制转换”。我们习惯使用十进制数,源于我们天然地有10根指头,而计算机却使用二进制数,因为电路中的电压有高有低、电流有通有断……全是两种状态,最易实现的机器计数方法就是二进制。理论上可以有任意n进制的计数法。常用进制简介如下:

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  0~19分别表示为:

13的乘法的规律(有趣的乘法规律) - 第28张

  只要您能理解十进制数的“按计数单位”展开,就能理解二进制数的“按计数单位”展开:

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  (说明:括号外右下角的小数字表示括号内数字采用的进制,如果只有一种进制,大家心知肚明,可以不写括号和小数字)

  在不同进制的数的对比下,您才会深入理解“计数单位”的深刻内涵。

  古埃及人如何找到一个自然数的“二进制展开”?肯定不会是将十进制数转化为二进制数,因为二进制数的系统建立和广泛使用,是和计算机的发明、发展紧密依存的。他们的办法是先罗列出公比为2的等比数列:

13的乘法的规律(有趣的乘法规律) - 第30张

  然后依次找到不超过这个数(或其剩余数)的最大2次幂。以97为例:

  ①由于64≤97且最大,选64,剩余:97-64=33;

  ②由于32≤33且最大,选32,剩余:33-32=1;

  ③由于1≤1且最大,选1,剩余:1-1=0,结束。

  所以:

13的乘法的规律(有趣的乘法规律) - 第31张

  如果您还有疑问,就赶紧拿起纸和笔试一试吧!

  讲到这里,就让我们赶紧结束这“非凡”的乘法之旅吧!漫长的旅程已让我疲惫不堪,你们哪怕有一丝的收获也将给予我无比的欣慰!如果您能仔细阅读完本文,我也一并向您表示祝福和感谢!如果您能因此而展开搜索和探究,发现更多“不一样”的乘法,那我将无比地荣幸,期待见到您独特的发现!

  再会。

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